topological sort

Definition

\(input\): \(DAG(\text{Directed Acyclic Graph})\)
\(output\): Node sequence \((v_1, v_2, ... , v_n)\) such that no edge \(v_j \to v_i\) (j > i)

Invariant

\(DAG\)에서 \(indegree\)가 0인 노드는 반드시 존재한다.

\(Proof\): \(indegree\)가 0인 노드가 하나도 없는 \(DAG\)를 가정하자. 모든 노드는 그러면 \(indegree\)가 1보다 크거나 같다.

어떤 노드 하나를 골라 \(indegree\)가 가리키는 부모 노드를 탐색할 때, 모든 노드들은 \(indegree\)가 0이상이기 때문에 반드시 부모 노드를 가지게 된다.

노드의 개수는 무한하지 않기 때문에 이 탐색은 순환하며 가정이 모순임을 나타낸다.

\(\Box\) \(DAG\)에서 \(indegree\)가 0인 노드는 반드시 존재한다.

algorithm

• find nodes indegree == 0
• insert q
• Iterate until all nodes are checked.

문제: 줄세우기

N명의 학생들을 키 순서대로 줄을 세우려고 한다. 각 학생의 키를 직접 재서 정렬하면 간단하겠지만, 마땅한 방법이 없어서 두 학생의 키를 비교하는 방법을 사용하기로 하였다. 그나마도 모든 학생들을 다 비교해 본 것이 아니고, 일부 학생들의 키만을 비교해 보았다.

일부 학생들의 키를 비교한 결과가 주어졌을 때, 줄을 세우는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 N(1≤N≤32,000), M(1≤M≤100,000)이 주어진다. M은 키를 비교한 회수이다. 다음 M개의 줄에는 키를 비교한 두 학생의 번호 A, B가 주어진다. 이는 학생 A가 학생 B의 앞에 서야 한다는 의미이다.

학생들의 번호는 1번부터 N번이다.

출력

첫째 줄부터 앞에서부터 줄을 세운 결과를 출력한다. 답이 여러 가지인 경우에는 아무거나 출력한다.

정답 코드

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>

using namespace std;

const int MAX = 32001;
int n, m, a, b, node[MAX];
queue<int> v[MAX];
queue<int> q;

int main() {

	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		scanf("%d %d", &a, &b);
		node[b]++;
		v[a].push(b);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (!node[i]) q.push(i);
	}
	while (!q.empty()) {
		int root = q.front();
		q.pop();
		printf("%d ", root);
		while (!v[root].empty()) {
			int child = v[root].front();
			v[root].pop();
			node[child]--;
			if (!node[child]) {
				q.push(child);
			}
		}
	}
}

Refernce

• https://math.stackexchange.com/questions/3232341/prove-that-a-directed-graph-with-no-cycles-has-at-least-one-node-of-indegree-zer